“Никто не верит, но это так” — парадокс дней рождений
Давайте представим, что ваш коллектив состоит из 23 человек. Какова вероятность того, что у вас и ещё кого-то день рождения в один и тот же день? Считаем, что уникумов, родившихся 29 февраля, нет.
Какие у вас есть варианты?
Правда в том, что вероятность того, что у вас с кем-то совпадет день рождения примерно 50%. И не в том плане, что “либо совпадет, либо нет”, а в самом деле получается такая вероятность. Более того, если бы в коллективе было 57 человек, то вероятность увеличилась бы до 99%. Не верите? Никто не верит! Но это всё равно так. Давайте посмотрим, почему.
Я думаю, довольно очевидно, что, если в коллективе 366 человек, то у двоих 100% будет день рождения в и тот же один день, так как возможных вариантов дней рождений всего 365 (високосный год не рассматриваем), а людей на одного больше.
А вот тот факт, что с вероятностью 99% в коллективе из 57 человек у двух людей совпадут дни рождения, вызывает недоверие. Так что давайте это строго докажем.
Доказать это в лоб весьма сложно, поэтому давайте пойдем от обратного и найдём вероятность того, что у двух человек не совпадают дни рождения. Эта вероятность будет равна (365/365)•(364/365) = 1•0,99726…≈ 99,72%.
Вероятность того, что у трёх человек не совпадают дни рождения: (365/365)•(364/365)•(363/365) ≈ 1•0,99726•0,99452 ≈ 99,179%.
Вероятность того, что у четырёх человек не совпадают дни рождения — предыдущий результат домножаем на 362/365, то есть (365/365) • (364/365) • (363/365) • (362/365) ≈ 0,99179 • 0,99178 ≈ 98,36%.
Чтобы найти вероятность того, что у пятерых человек не совпадает день рождения, надо предыдущий результат домножить на 361/365. Для шести человек результат пятерых надо домножить на 360/365 и так далее. Поняли алгоритм, да?
Таким образом, вероятность того, что у 23 человек НЕ совпадают дни рождения равна (365/365) • (364/365) • (363/365) • … • (344/365) • (343/365) ≈ 49,27%.
А нас интересует обратное утверждение. Поэтому раз вероятность того, что никто из 23 человек не родился в один день равна 49,27%, значит, вероятность того, что у кого-то (хотя бы у двух) из 23 человек дни рождения совпадают, равна 100% – 49,27% = 50,73%. Что и требовалось доказать.
Если следовать той же логике, то несложно вычислить, что вероятность того, что никто из 57 человек не родился в один день, равна (365/365) • (364/365) • (363/365) • … • (310/365) • (309/365) ≈ 0,01 = 1%. А значит, вероятность того, что в коллективе из 57 человек хотя бы у двоих день рождения в один день равна 1 – 0,01 = 0,99 = 99%.
Вот такая математика.
В нашем Telegram‑канале вы найдёте новости о непознанном, НЛО, мистике, научных открытиях, неизвестных исторических фактах. Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить.
